未解決問題

数学はけして杓子定規な学問ではありません。 わりとひらめきなんかを要求されます。 もっともその境地に達するまでが死ぬほど大変なのですが。


ゴールドバハ予想

4以上の全ての偶数はふたつの素数の和で表される。
6以上の全ての数は3つの素数の和で表される。

誰でも理解できる内容なのになんといまだ証明されてません。 1は素数として扱いません。4 = 2+2以外は全て奇素数の和となります。

双子素数

双子素数は無数に存在する。

双子素数は、5と7、11と13のように隣り合った素数のことです。
素数が無限に存在することは証明されています。 その証明の一つとして、全ての素数の逆数の和を取るというものがあります。 そうするとその和は発散します。 ところが双子素数の逆数の和は収束します。 これで双子素数の数は非常に少ないということはわかるのですが、 数が有限かどうかまではわかりません。
2004/05/31:今年になってついに証明されたようです。

奇完全数

完全数は全て偶数である。

完全数とはその約数の和が元の数に等しくなるものです。 6= 1+2+3、28 = 1+2+4+7+14等。この完全数ですが、今まで見つかったものは全て偶数です。 奇数の完全数は存在するのかどうかわかっていません。証明もありません。

カタラン予想

mp - nq = 1はm = q = 3、p = n = 2以外の解を持たない。

1952年、ルヴェックにより以下の定理が証明されました。
(n+1)p - nq = 1を満たす解はn = p = 2、q = 3だけである。
椎名健二さんはmまたはnが素数ならばカタラン予想が正しいことを証明しています。
1976年にタイドマンが、mp - nq = 1ならば m,n,p,q < Cという実質的な証明を与えました。 ただC = 1.06 * 1026とかいうとんでもない数なのでその間がまだ埋まっていません。

ピライの予想

k >= 2、p >= 2、q >= 2のとき、mp - nq = kは 有限個の解しか持たない。

カタラン予想の発展版です。

ホフスタッター数列

Qn = Qn-Qn-1 + Qn-Qn-2
1,1,2,3,3,4,5,5,6,6,6,8,8,8,10,9,10,11,11,12,12,12,12, 16,14,14,16,16,16,16,20,17,17,20,21,19,・・・

 ホフスタッター数列のふるまいは未解決問題のひとつです。 遺伝アルゴリズムと関係あるらしいですがなんだかよくわかりません。

π+eは無理数

証明されてないんですか?

リーマン予想

 既に21世紀最大の難問と呼ばれています。フェルマーの大定理なんか目じゃない。

2sin(π・x)Γ(s)ζ(s) = ∫[-∞〜+∞]((-x)s-1/(ex-1))dx
ζ(s)=0となる点は自明な零点(s=-2,-4,-6,…)以外では、sの実数部分が1/2である点にしか存在しない。

 式だけ見ても何のこっちゃって感じですが、 実はこれ素数と積分という一見思いっきり離れているように見える二つの世界を結びつける鍵らしいです。
π(x)はxの関数で素数の個数です。ちなみに
π(x) ≒ x/log x (x→∞)
は証明されていて素数定理と呼ばれています。
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